代数笔记I原创
# 代数笔记I
# 0、定调
学习的目的是能够理解对“四次以上方程无一般解”进行证明的伽罗瓦理论。
是的，学个半天只为搞懂一个天才在讲些什么。
绝大多数理工科同学其实严重缺乏现代数学的训练，而和分析相比，抽代是很合适的数学入门。这是对需要现代数学的同学来说的。 从更实际一点角度，国内理工科的线代实在太“应用”了，完全是矩阵代数。其实要真正学会线代，抽代也是很合适的途径。 而对于计算机大一生，一些抽代基础会在《离散数学》的代数系统部分讲掉。
之所以维护笔记，是为了写出来以加深理解。
# 1、运算
代数系统，是集合及其所满足运算的打包，记作<某集合，其满足的运算甲，其满足的运算乙……>。
【附释】我刚才说某集合“满足”的运算，但某运算在定义时就必须定义在某集合上。通常将某集合记作A，某运算记作*。
运算的性质，通常有六个，以“性”或“律”字为首品。 封闭或闭包； 交换；（从这里我们可以说本环节还处于一种比较低的阶次，因为小学生都对“加法交换律”的概念深信不疑，而且只要他愿意稍加思考就足以抽去“加法”二字，而去寻找它的普遍性。） 结合； 分配；（这个性质以两个运算作为对象，即某运算对于另一运算是分配的。） 吸收； 幂等。
【附释】运算（一般就指二元运算）固然是以集合中元素为对象的，而集合本身又可以作集合的元素，因此就有“集合的运算”——交、并、相对补、绝对补、相对差或异或、一类。
运算的特殊元素，通常有三个。以“元”字为首品。 单位元； 逆元； 零元或吸收元。
逆元
原来是相反数啊，不知道的还以为是整数集元素对加法运算的逆元呢
【附释】某个运算有这种的特殊元素，同样也可以算作是一种性质。例如某种运算是有逆元的，亦可在性质上称它是满足逆元律；而满足幂等律，也可以称作是某集合全部是“幂等元”这种特殊元素（请注意，不是有幂等元这一特殊元素）；而其它的性质，例如结合律这种，只是说进行某种动作是合法的。
既然函数就是映射，而映射就是函数，不难联想到运算也同样是映射。
通常将单位元记作e、某元素x的逆元记作x^-1、零元记作θ。
有左某元、右某元的区分。某元的左右，就表示运算的先后顺序或者说优先级，例如f o g、AB（矩阵）这样的复合运算，就是以右为先。因此，如果说某元素是某元，它必须满足既是左某元又是右某元。
# 2、群
代数系统只有在满足封闭性时才是代数结构。因此，封闭性可以说是后续介绍的一些代数结构的第〇道条件。
不难发现只有先定义了单位元，才能定义逆元。
人们通常追求定义，甚至几乎将它当作概念的同义词来用。这还只是知性逻辑，还只是对第一人称能够抱有共同的公理系统的幻想。然而现实是不断改变着的，一切是运动着的一切。定义是每个人都要做而又无时无刻不在做的，而人们常常忘记他们所做，或对此只是顾左右而言他。所谓自我为万物立法，乃是每个相信理性的现代人的原则。
【说明】集合的一字形式是集。例如有限集就是有限集合，实数集合也就是实数集。
为代数系统<S,>仅添加一则规定性，即运算对集合S满足封闭性时，它就成为一个广群。
为广群再添加一则规定性，即运算*满足结合律时，它就成为一个半群。
为半群再添加一则规定性，即含有单位元e时，它就成为一个独异点或幺半群。
为独异点再添加一则规定性，即每一元素x∈S，都有它的逆元x^-1也∈S时，它就成为一个群；我们知道，现在它有四则规定性：
- 封闭；
- 结合；
- 单位元或幺元；
- 逆元。
【附释】代数系统理论以集合论作为依赖。而又不难发现，这各类系统的诸概念，仿佛像是某种集合的概念一般。例如，
- 群中集合的子集，如果成为了另一个群中的集合，那么后一个群就成为前一个群的子群（类似地，半群、幺半群都有它们对应的子半群、子幺半群）；
- 而群中集合是有限集或无限集时，它也就是有限群或无限群；
- 集合的元素数称作该有限群的阶数，记作|S|。
为群再添加一则规定性，即运算*满足交换律时，它就成为一个阿贝尔群或交换群。
【说明】单位元维护着元素的同一性，这是形式逻辑的同一律A并A＝T的一个显现。
【附释】思辨理性，常常被误认为抽象理智。后者也就是知性，它是分析的能力。。指向内容的好的形式。
【说明】这里集合都默认为非空集合，运算都默认是二元运算。