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Ektropia
2025-04-22
目录
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1、运算
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代数笔记I原创

# 代数笔记I

# 0、定调

学习的目的是能够理解对“四次以上方程无一般解”进行证明的伽罗瓦理论。 是的,学个半天只为搞懂一个天才在讲些什么。

绝大多数理工科同学其实严重缺乏现代数学的训练,而和分析相比,抽代是很合适的数学入门。这是对需要现代数学的同学来说的。 从更实际一点角度,国内理工科的线代实在太“应用”了,完全是矩阵代数。其实要真正学会线代,抽代也是很合适的途径。 而对于计算机大一生,一些抽代基础会在《离散数学》的代数系统部分讲掉。

量包含连续性和离散性两个环节。

——《逻辑学·量·纯量》

之所以维护笔记,是为了写出来以加深理解。

# 1、运算

【说明】

这里集合都默认为非空集合,运算都默认是二元运算。

代数系统,是集合及其所满足运算的打包代数系统,就是配备二元运算的集合。记作<某集合,其满足的运算甲,其满足的运算乙……>。

【附释】我刚才说某集合“满足”的运算,但某运算在定义时就必须定义在某集合上。通常将某集合记作A,某运算记作*。

运算的性质,通常有六个,以“性”或“律”字为首品。 封闭或闭包; 交换;(从这里我们可以说本环节还处于一种比较低的阶次,因为小学生都对“加法交换律”的概念深信不疑,而且只要他愿意稍加思考就足以抽去“加法”二字,而去寻找它的普遍性。) 结合; 分配;(这个性质以两个运算作为对象,即某运算对于另一运算是分配的。) 吸收; 幂等。

集合的运算

运算(一般就指二元运算)固然是以集合中元素为对象的,而集合本身又可以作集合的元素,因此就有“集合的运算”——交、并、相对补、绝对补、相对差或异或、一类。一个典型的例子是,对于某一代数系统(P(A),∩)(\mathcal{P}(A),∩)(P(A),∩)的幺元是全集AAA、零元是∅\varnothing∅。

运算的特殊元素,通常有三个。以“元”字为首品。

  • 幺元或单位元,在某一代数系统中只有一个,通常记作eee;它与其它元素运算只会得到该元素,即形式上的e∗a=ae*a=ae∗a=a。
  • 逆元,每个元素都有它的逆元,某元素xxx的逆元记作x−1x^{-1}x−1;某元素与它的逆元运算只会得到幺元,即x∗x−1=ex*x^{-1}=ex∗x−1=e。
  • 零元或吸收元,在某一代数系统中只有一个,记作θθθ;它与其它元素运算只会得到它,即形式上的θ∗a=θ\theta*a=\thetaθ∗a=θ。

逆元

不难发现只有先定义了单位元,才能定义逆元。例如相反数和倒数,更普遍的说法是加法逆元和乘法逆元。代数系统中,一个元素如果有逆元,两者就可以通过运算∗*∗得到幺元;换句话说,一个元素是否有逆元,是可以凭幺元和运算这两者反推的。

【附释】

数学的方法就是知性的方法,亦即从现象材料中对感性直观进行归纳排列的方法,在于从个体性发现普遍性。正因如此,任何人学习数学时必然是通过大量的例子的。没有抽象大师。而任何学科在被发明时本身也是按照这样的规律——从幺元和零元的名字我们就可以看得出,它们的译者是以乘法这一运算作为那个最初的个体的,它的规定性被抽出来发展到普遍层面,仅用来表达“与其它元素运算只会得到该元素”和“与其它元素运算只会得到它”这些性质了。

【附释】某个运算有这种的特殊元素,同样也可以算作是一种性质。例如某种运算是有逆元的,亦可在性质上称它是满足逆元律;而满足幂等律,也可以称作是某集合全部是“幂等元”这种特殊元素(请注意,不是有幂等元这一特殊元素);而其它的性质,例如结合律这种,只是说进行某种动作是合法的。

既然函数就是映射,而映射就是函数,不难联想到运算也同样是映射。

有左某元、右某元的区分。某元的左右,就表示运算的先后顺序或者说优先级,例如f o g、AB(矩阵)这样的复合运算,就是以右为先。因此,如果说某元素是某元,它必须满足既是左某元又是右某元。

# 2、群

代数系统只有在满足封闭性时才是代数结构。因此,封闭性可以说是后续介绍的一些代数结构的第〇道条件。

人们通常追求定义,甚至几乎将它当作概念的同义词来用。这还只是知性逻辑,还只是对第一人称能够抱有共同的公理系统的幻想。然而现实是不断改变着的,一切是运动着的一切。定义是每个人都要做而又无时无刻不在做的,而人们常常忘记他们所做,或对此只是顾左右而言他。所谓自我为万物立法,乃是每个相信理性的现代人的原则。

【说明】

集合的一字形式是集。例如有限集就是有限集合,实数集合也就是实数集。

广群

假若施加于某物体的外力为零,则该物体的运动速度不变。为代数系统<S,∗><S,*><S,∗>仅添加一则规定性,即运算∗*∗对集合SSS满足封闭性时,它就成为一个广群。

半群

为广群再添加一则规定性,即运算∗*∗满足结合律时,它就成为一个半群。

幺半群

为半群再添加一则规定性,即含有单位元eee时,它就成为一个独异点或幺半群。

群

为独异点再添加一则规定性,即每一元素x∈Sx∈Sx∈S,都有它的逆元x−1x^{-1}x−1也∈S∈S∈S时,它就成为一个群;我们知道,现在它有四则规定性:

  1. 封闭;
  2. 结合;
  3. 单位元或幺元;
  4. 逆元。

【附释】

代数系统理论以集合论作为依赖。而又不难发现,这各类系统的诸概念,仿佛像是某种集合的概念一般。例如,

  1. 群中集合的子集,如果成为了另一个群中的集合,那么后一个群就成为前一个群的子群(类似地,半群、幺半群都有它们对应的子半群、子幺半群);
  2. 而群中集合是有限集或无限集时,它也就是有限群或无限群;
  3. 集合的元素数称作该有限群的阶数,记作∣S∣|S|∣S∣。

交换群

为群再添加一则规定性,即运算∗*∗满足交换律时,它就成为一个阿贝尔群或交换群。

【说明】

单位元维护着元素的同一性,这是形式逻辑的同一律A∪A=TA∪A=TA∪A=T的一个显现。

【附释】

思辨理性,常常被误认为抽象理智。后者也就是知性,它是分析的能力。。指向内容的好的形式。

【附释】

数学的概念,绝不会脱离具体的例子和题目,因此,如果有人要完全脱离而去研究纯粹抽象,这完全是无稽之谈——被误认为是纯粹抽象的那个东西也根本不存在。换句话说,再怎么想,都比你关注几个具体的例子,解几道具体的题目要强,因为在那里才能发现普遍性。

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#代数
上次更新: 2025/05/10, 15:45:34
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